معنى الاستنباط وتطبيقه فى الصورية شرح الباب الثانى منطق ثالثة ثانوى

 شرح الموضوع الثانى منطق ثالثة ثانوى

منطق تالتة ثانوى

الفصل الثاني :  معني الاستنباط وتطبيقه في العلوم الصورية

*المنطق والرياضيات في المنهج الاستنباطي التقليدي :-

- بين ارسطو مبادئ العلوم الصورية البرهانية والعلاقة بين المنطق الاستنباطي والرياضيات بالقول "يجب ان يبدأ كل علم برهاني من مبادئ غير مبرهنة والا سنتراجع في خطوات البرهان الي مالانهاية "

-  اعتمدت الرياضيات علي الاستدلالات الاستنباطية من حيث انها مفاهيم عقلية مجردة من المحسوسات الا انها تختلف في نواح عديدة عن الرياضيات الكلاسيكية .

أ- النسق الرياضي :-

 تتعدد النظريات الفلسفية التي تفسر طبيعة الرياضيات :-

1- تري نظرية فلسفية ان الحقائق الرياضية مجرد كيانات فكرية موجوده في العقل ففقط وتعتمد في وجودها عليها .

2- تري نظرية فلسفية ان الحقائق الرياضيه وعناصرها (الاعداد ) هي وقائع مجردة توجد في عالم منفصل عن عالمنا المادي الفيزيائي .

3- واخري تري ان الرياضيات موجودة فقط في أوراق العلماء أي لاعلاقه لها بالواقع .

4- وتري نظرية ان حقائق الرياضيات قائمة في عالمنا الواقعي المادي .

*تعريف النسق:-

   هو بناء متكامل مترابط الأجزاء يتألف من مجموعه من المفاهيم والقضايا الرياضية بحيث تشكل هذه المفاهيم والقضايا مقدمات النسق ويضم النسق مجموعه اخري من القضايا تكون بمثابه مبرهنات التي يتم استنباطها والبرهنة عليها من المقدمات التي بدأنا منها .

 ** ومعني هذا ان البناء الرياضي بمثابه بناء يوم فيها الاستدلال الرياضي بالدور الرئيسي فهو الذي ينتقل بنا من مقدمات الي نتائج ليكتمل البناء لذلك نصف الرياضيات بانها نسق استنباطي حث تتصف القضايا في هذا النسق بعدة خصائص :-

    أ- قضية تعبر عن تحصيل حاصل بمعني ان محمولها لايضيف جديد الي موضوعها .

   ب- تعتمد علي مبدا التناقض بين طرفيها .

  ج – تعبر عن اللزوم المنطقي بمعني ان الشطر الثاني يلزم منطقيا عن الشطر الأول .

* بناء النسق الرياضي :-

*بناء النسق الرياضي :-

1- التعريفات :-

أ- اول خطوة يقوم بها عالم الرياضة هي تعريف المفاهيم الرياضية التي ينوي استخدامها .

2- فهي تعريفات اشتراطية يضعها عالم الرياضيات ويعرف فيها المصطلحات بما شاء من معاني تساعده في بناء النسق الرياضي .

مثال :- تعريف اقليدس النقطة ( بما ليس له أجزاء ) .

2-اللامعرفات :-

أ- هي الفاظ واضحة بذاتها يتركها العالم بدون تعريف لانها واضحة بذاتها يستخدمها في تعريف مفاهيم اخري حتي لا تمتد التعريفات الي مالانهاية .

ب- هي تعد بمثابة أساس التعريفات الرياضية  فنحن نعرف لفظا بلفط اخر .

مثال :- الطول – العرض .

3- البديهات والمصادرات (المسلمات ):-

  *أوجه الاتفاق :-

أ- انها قضايا يسلم بها العقل مباشرة دون برهان لشدة وضوحها .

ب- انها قضايا اوليه نستند اليها للبرهنة علي قضايا اخري فهي أساس الاستدلال ولاتحتاج الي استدلال .

ج – تقوم البديهة والمصادرة علي مبدأ عدم التناقض .

*أوجه الاختلاف:-

البديهيات

المسلمات (المصادرات)

1- تعد البديهات قضايا واضحة بذاتها أي لاتحتاج الي دليل او برهان لاثبات صدقها .

2- يعجز العقل عن اثباتها فهي تفرض نفسها علي العقل بوضوحها وهي تعتمد علي اتساق العقل مع ذاته .

- ومن امثلة بديهيات اقليدس التقليدية:-

*الكل اكبر من مجموع اجزائه .

*لايمكن رسم الا خط مستقيم واحد بين نقطتين.

وهي حقائق بسيطة واضحة نقبلها دون الحاجة للبرهنة عليها ولكن الباحث يسلم بها ليتخذها أساسا للبرهنة علي غيرها من القضايا .

ومن شروط المسلمات :-

1- ان تكون متسقة أي غير متناقضة مع باقي النسق لان العلوم الرياضية قائمة علي عدم التناقض والا أصبحت النظريات خاطئة

2- ان تكون كافية لكي نبرهن بواسطتها علي جميع نظريات النسق .

3- ان تكون مستقلة أي لاتكون مشتقة من مسلمات اخري .

- من امثلة مسلمات اقليدس :-

-المكان سطح مستوي له ثلاثة ابعاد هي الطول والعرض والارتفاع .

- لايمكن إقامة اكثر من خط بين نقطتين.

-الخطان المستقيمان يتقاطعان في نقطة واحدة .

ملحوظة:- انا البديهات والمسلمات لاتحتاج الي برهنة اواقامة الأدلة علي صحتها انها أمور تسلم بها تسليما اونقبلها قبولا دون ادني استدلال أي انها مبادئ عقلية أولية الا ان البديهات ليست كافية لتأسيس علم بمفردها فان المسلمة مكملة لها باعتبارها قضايا أولية ف العلم غير ان هذه القضايا الأولية تعتمد علي مبادئ منطقية من أهمها :-

1- مبدأ الذاتية :- بمعني ان حقيقة الشئ لاتتغيرولاتتبدل فالكتاب هو الكتاب ولايمكن ان يكون شيء

اخر .ويرمز له ب:- ان أ هي أ بمعني ان كل ماهو هو.

2- مبدأ عدم التناقض :- يعبر هذا المبدأ عن المبدأ السابق ولكن في صورة السلب بمعني لايمكن ان

يكون الشئ وان يكون شيء اخر في نفس الان .

3- مبدأ الثالث المرفوع :-يشير هذا القانون الي امتناع الوسط بمعني أ اما ان تكون أ او لا أ ولا وسط بينهما فالقضية القائلة غدا الخميس اما صادقة او كاذبة ولايوجد حكم ثالث .

4- استنباط النظريات (المبرهنات ):-

أ- هي المرحلة التي يتم من خلالها إتمام البناء الرياضي فبعد ان يضع الرياضي مقدماته من تعريقات وبديهيات ومصادرات يبدأ في استنباط النتيجة فصدق النظريات يتوقف علي صدق المق

الحجج الاستنباطية :- .

- يهتم المناطقة في الاستدلال الاستنباطي بالجمل الخبرية التي يصح وصفها بالصدق او الكذب والتي يطلقون عليها مصطلح قضايا .

*ملحوظة:- الحجة الاستنباطية قد تكون صحيحة رغم كذب مقدمة او اكثر من مقدماتها بل انها قد تكون صحيحة رغم كذب كل قضاياها .

1- لاتشمل بعض الحجج الصحيحة الا علي قضايا صادقة .

مثال :-

                                لكل الثدييات رئات

                                كل الحيتـان ثدييات

                              لذا كل الحيتان رئـات

2- قد تكون كل القضايا الحجة كاذبة وتظل صحيحة .

مثال :-

                        لكل المخلوقات ذات العشر ارجل اجنحة .

                               لكل العناكب عشر أرجل

                               لذا لكل العناكب اجنحـــة

*الحجة السابقة صحيحة لانه لو صدقت مقدماتها لصدقت نتيجتها رغم انها جميعها في واقع الامر كاذبة .

3- قد تكون جميع مقدمات الحجة ونتيجتها صادقة وتظل حجة فاسدة .

مثال :-                                      كل القطط ثدييات

                                               كل النمور قطط

                                           كل النمور  قطط

4- قد تكون الحجة ذات المقدمات الصادقة والنتيجة الصادقة صحيحة وقد تكون فاسدة .

                            كل القطط ثدييات

                           كل النمور قطط

                         لذا  كل النمور ثدييات

5- قد تكون حجة صحيحة ولكن ذات مقدمات كاذبة ونتيجة صادقة .

مثال :-                  كل القطط طيور

                          كل الطيور ثدييات

                           اذا كل القطط ثدييات

6- هناك حجج فاسدة تكذب مقدماتها ونتائجها .

مثال :-

                       كل الثدييات ذوات اجنحة

                        كل الحيتان ذوات اجنحة

                           لذا كل الثدييات حيتان

* نستنتج من الأمثلة الاتي :-

- المقدمات الصادقة لاتضمن صحة الحجة .

- المقدمات الصادقة والنتيجة صادقة معا لاتضمن صحة الحجة .

- المقدمات الكاذبة لاتعني بالضرورة فساد الحجة .

- المقدمات الكاذبة والنتيجة الكاذبة لاتعني فساد بالضرورة فساد الحجة .

- النتيجة الصادقة لاتضمن صحة الحجة .

- الحجة الصحيحة لاتعني صدق المقدمات بصورة الية .

- النتيجة الكاذبة لاتعني بالضرورة فساد الحجة .

الصياغة الرمزية للحجج الاستنباطية:-

- لجا المناطقة في العصور الحديثة الي استخدام لغة رمزية اصطناعية تخلو من أوجه قصور اللغة والتي يمكن بها تصاغ القضايا والحجج حيث تتميز هذه الرموز ب:-

    أ- تحدد معاني واضحة لكل مفهوم .

   ب- توفر الوقت والجهد في التعامل معها .

  ج- تعكس صورية المنطق التي تعني انه مهتم بالعلاقات التركيبية بين اجزء القضايا .

** مثـــال :- يوضح كيفية ترميز القضايا باستخدام الدوال الصدقية (الوصل-الفصل-السلب_الشرط)

سمر تسافر الي الإسكندرية كل أسبوع .

قضية موجبة

ق

حسام ليس طالبا في كلية اداب .

قضية سالبة

~ ق

حسن موظف وسحر أستاذة جامعية

قضية عطفية

ق . ل

اما ان اذاكر دروسي او استمع الي الموسيقي.

قضية انفصالية

ق v ل

اذا كان احمد مصريا فان احمد عربي.

قضية شرطية (لزومية)

ق ß ل

ستتقدم مصر اذاوفقط اذا حققت التنمية الشاملة .

قضية التشارط (التكافؤ)

ق 

*تعد القضية الاولي قضية بسيطة أي خالية من الدوال الصدقية لذلك ترمز باختيار حرف من حروف الابجدية ( ق - م – ل ..... )  انا القضية الثانية قضية بسيطة علي الرغم علي اشتمالها علي رابط صدقي هو رابط السلب لذا فانها ترمز ب :- ~ ق .

   * سوف نستخدم الحرف ص اختصارا لقيمة الصدق والحرف ك اختصارا لقيمة الكذب .

1- رابط السلب او النفي :-

   هناك صياغات متعددة تعبر عن السلب في اللغة اللعربية منها (ليس – غير – لن – لا – لم ) -ورغم وجود فروق بين معانيها فانها تشترك في نفي او سلب القضية .

- تتحدد مهمة السلب في تغيير قيم صدق القضية ونرمز له "~ "

- اذن اذا صدقت قضية معينة فان سلبها يكون كاذبا والعكس صحيح .

ق

2- رابط الوصل (العطف) :-

- هناك صياغات متعددة لرابط الوصل مثل ( لكن – و )... وغيرها

- تصدق قيمة قضية الوصل في حالة صدق كل اجزائها

- نلاحظ ان رابط الوصل يتصف بالتبادلية أي يمكننا عكس وضع القضيتن البسيطتين دون تغييرقيمة صدق قضية الوصل المركبة أي هناك تكأفو منطقيا بين القضيتين

        (ق . ل) = ( ل . ق )

- اذن يصدق الوصل اذا صدق طرفاه ويكذب اذا كذب احد اطرافه .

3- رابط الفصل :-

- وهو يرمز له بالرمز (v) فو برتبط بكلمة ( أو) .

- قد يستخدم بدلالة استبعادية تحول دون الجمع بين البديلين ويسمي ( الفصل القوي ) .

مثال :-                   ذلك الشئ الذي يلمع في الظلام حجر او حشرة .

           ستهبط طائرة فريق كرة القدم التاسعة صباحا اليوم في القاهرة او في الإسكندرية .

- في الأمثلة السابقة يستحيل ان يصدق البديلان في نفس الوقت .

- هناك نوع اخر من الفصل يسمي (الفصل الضعيف ) الذي لاتكذب فيه القصية الفصلية الا في حال كذب مفصوليها أي من الممكن ان يصدق فيها البديلان معا .

مثال :-                    اما ان اذاكر دروسي او استمع الي الموسيقي .

                                        عادل مهندس او مدرس .

- اذا يمكن ان يكون عادل مدرس وخريج كلية الهندسة أي يحمل لقب مهندس من هنا لانسبتعد صدق الامرين معا أي ان الفصل الضعيف يصدق في جميع الأحوال باسنثناء الحالة التي يكذب فيها طرفاه .   

ق

- لاحظ ان رابط الفصل يتصف أيضا بالتبادلية أي يمكننا عكس وضع النقطتين دون تغيير في قيمة صدق قضية الفصل المركبة حيث ان هناك تكافوا منطقيا بين القضتين

ق

- يصدق الفصل اذا صدق احد طرفيه ويكذب ا1ا كذب طرفاه معا.

4-رابط الشرط :-

- الذي نرمز له ب " ß ويسمي فعل الشرط بالممقدم وجوابه بالتالي ولايتصف بالتبادلية .

- ان ترتيب أجزاء القضية الشرطية قد يحدث فرقا في قميتها الصدقية .

مثال :- اذا كان ايمن مصريا فان ايمن عربي .... قضية صادقة .

         اذا كان ايمن عربيا فان ايمن مصري .... قضية كاذبة .

ق

-  القضية الشرطية لاتكذب الا في حال صدق مقدمها وكذب تاليها .

- مثال :- اذا فاز فريق الأهلي في مباراته القادمة سوف يحصل علي بطولة الدوري .

فان المثال السابق يكذب في حالة واحدة حين يحقق الأهلي الفوز دون ان يحصل علي بطولة الدوري  لكنه يصدق في الحالات الأخرى بمعني ( فوزه وحصوله علي البطولة وحال حصوله علييها رغم خسرته لان الفريق التاني لم تكن لديه نقاط كافية للفوز – حاله اخري عدم فوزه وعدم حصوله علي البطولة ) .

5-رابط التشارط(التكافؤ) :-

- الذي نرمز له بالرمز " <<-- والذي نعبر عنه بالعبارة "اذا وفقط اذا "

- تصدق قضية التشارط في حالة صدق طرفيها كما تصدق في حالة كذبهما وتكون كاذبة حال اختلاف قيم صدقهما .

- القضية التي تقر :- ( هذه السنه سنة كبيسة اذا وفقط اذا تقبل القسمة علي 4 "

فهي قضية تصدق في حالتين :- حال صدق وطرفيها"كون السنه كبيسة وكونها تقبل القسمة علي 4"

                                  - حال كذبهما"كون السنه غيركبيسة وعدم قبولها القسمة علي 4 "

                                  - تكذب حال اختلاف قيم صدق هذين الطرفين .

- الامر نفسه ينطبق علي القضية :-

"ينجح المرشح في انتخابات اتحاد الطلبة اذاوفقط اذا حصل علي اكثر من نصف أصوات الناخبيين" فهي قضية تصدق في حالتين :- اذا حصل علي اكثر من نصف الأصوات ونجح في الانتخابات .

                                  - اذا لم يحصل علي اكثر من نصف الأصوات لكنه لم ينجح .

                                  - بخلاف هذا تكون القضية كاذبة                                        - القضية تصدق اذا صدق البديلان معا او كذبا معا وغير ذلك تكون كاذبة .

- ان رابط التشارط يتصف أيضا بخاصية التبادلية أي يمكننا عكس وضع القضيتن البسيطيتن دون تغيير في قيمة صدق قضية الفصل المركبة حيث ان هناك تكافوا منطقيا بين القضيتين .

- يصدق التشارط اذا صدق طرفاه معا او كذبا معا ويكذب اذا اختلف طرفاه صدقا وكذبا .